\begin{section}{Introducción Teórica}
\textbf{Interpolación}
\par 
Dados $n$ puntos en $R^2$ de la forma $(x_i, y_i)$ $\forall i,$ $i = 0, \dots, n$, el polinomio $P(x)$ interpola en estos puntos si $P(x_i) = y_i$ $\forall i,$ $i = 0, \dots, n.$

\paragraph{}
\textbf{Splines}
\par
$S(x)$ es spline si
	\begin{enumerate}
		\item $S(x)$ es un polinomio de grado $3$ en $[x_j, x_{j+1}]$ $\forall j,$ $j=0,\dots,n-1$
			\begin{itemize}
				\item $S_j(x) = d_j{(x-x_j)}^3 + c_j{(x-x_j)}^2 + b_j{(x-x_j)} + a_j$
				\item ${S'}_j(x) = 3.d_j{(x-x_j)}^2 + 2.c_j{(x-x_j)} + b_j$
				\item ${S''}_j(x) = 6.d_j{(x-x_j)} + 2.c_j$
			\end{itemize}	
		\item $S(x_j) = f(x_j)$ $\forall j,$ $j=0,\dots,n$		
		\item $S_{j+1}(x_{j+1}) = S_j(x_{j+1})$ $\forall j,$ $j=0,\dots,n-2$ (continuidad).
		\item $S'_{j+1}(x_{j+1}) = S'_j(x_{j+1})$ $\forall j,$ $j=0,\dots,n-2$ (derivadas iguales de ambos lados).
		\item $S''_{j+1}(x_{j+1}) = S''_j(x_{j+1})$ $\forall j,$ $j=0,\dots,n-2$ (concavidades iguales de ambos lados).		
	\end{enumerate}
	Si además se cumple que $S''(x_{0}) = 0$ y $S''(x_{n}) = 0$, entonces $S$ es un spline natural.

\end{section}
